线性代数第一章：导学

为什么学习线性代数

• 线性代数是高等教育中理工科学生必学的数学之一
• 线性代数是近现代科学发展过程中最重要的基础数学之一

初等教育中更多的是在研究一个一个的具体的数，和函数。线性代数则在研究“一组数”，即向量。

真实的世界是多维度的，单变量不足以描述真实世界的。线性代数将对数值的研究由单一纬度拓展到多维度，发展了一套数学概念和工具，使数学更加容易的解决现实中真实世界的问题。

近乎所有的理工科教材中，都充斥着线性代数的公式或者符号。

所以深入透彻理解线性代数是非常重要的，用的好会如鱼得水，事半功倍。

这门课成的目标

• 对线性代数有更感性的认识
• 看懂大多数教材文献资料上面的线性代数公式和符号
  • 正交矩阵、相似矩阵
  • 特征值、特征向量
  • 矩阵的 QR 分解、LU 分解、SVD 分解
  • 矩阵的对角化
  • $P^{-1}AP$

虽然学完这门课成，不一定能记得特别牢固，但是有了感性认识之后，随时可以捡起来。

这门课程的特点

线性代数是相对容易的，因为在低纬空间很容易“看”到线性代数结论的直观几何意义。

对线性代数的直观理解，决定了对基础概念的认识深度，决定了能否理解高级概念。

一般本科教育过于着重计算，但是没有讲清楚究竟是怎么回事儿。

比如

矩阵相乘：

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+by\\ cx+dy \end{bmatrix}$

求解特征值和特征向量：

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{vmatrix} =0$

$\lambda$ 就是那个特征值。

本课程对数据概念，不做生硬定义。

会讲明白：

• 为什么引入这个概念
• 解决了什么问题
• 推论为什么是重要的

线性代数与机器学习

其实入门机器学习不一定需要特别精深的数学知识，往往我们直接啃机器学习会惊讶的发现，入门机器学习对数学基础要求真的不高，但是可以激发起对机器学习的极大兴趣，促使我们在基础数学不足的地方去补足。

在机器学习的论文中，我们经常能看见线性代数的符号，其实机器学习不仅仅需要线性代数，他还需要基础高数、统计学、凸优化等高等数学知识。机器学习包括特别多的数学门类，不可能把所有数学都学完了，再入门机器学习。

编程环境

Python3.x 比如 python3.7，jupyter notebook，Pycharm