线性代数第四章：矩阵不仅仅是n×m个数

什么是矩阵

矩阵是对向量的扩展

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}$

在前面我们了解到向量是对数的扩展，一个向量表示一组数。

上面展示一个 $4\times 4$ 矩阵（4 行 4 列）。

• 矩阵是对向量的扩展，一个矩阵表示一组向量；
• 横着看就是行向量，竖着看就是列向量；
• 行数等于列数，是方阵；
• $3 \times 4$ 代表 3 行 4 列

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$

上述公式就是一个矩阵，其中元素们的下标第一位数是行数，第二位数是列数。

矩阵就是表格

生活中常见的矩阵就是表格，比如：

行向量代表每个同学的各门科目的分数，列向量代表每门科目的分数。

矩阵的其他应用

当然，除了上述对矩阵的解释，矩阵更多的被应用在表示一组变换，一个空间

实现矩阵

新建 Matrix.py

from .Vector import Vector

class Matrix:

    def __init__(self, list2d):
        self._values = [row[:] for row in list2d]

    def row_vector(self, index):
        """返回矩阵的第index个行向量"""
        return Vector(self._values[index])

    def col_vector(self, index):
        """返回矩阵的第index个列向量"""
        return Vector([row[index] for row in self._values])

    def __getitem__(self, pos):
        """返回矩阵pos位置的元素"""
        r, c = pos
        return self._values[r][c]

    def size(self):
        """返回矩阵的元素个数"""
        r, c = self.shape()
        return r * c

    def row_num(self):
        """返回矩阵的行数"""
        return self.shape()[0]

    __len__ = row_num

    def col_num(self):
        """返回矩阵的列数"""
        return self.shape()[1]

    def shape(self):
        """返回矩阵的形状: (行数， 列数)"""
        return len(self._values), len(self._values[0])

    def __repr__(self):
        return "Matrix({})".format(self._values)

    __str__ = __repr__

矩阵的基本运算

矩阵加法

假设：

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 c} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 c} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \ldots & a_{r c} \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1 c} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2 c} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ b_{r 1} & b_{r 2} & \ldots & b_{r c} \end{pmatrix}$

则：

$A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \ldots & a_{1 c}+b_{1 c} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \ldots & a_{2 c}+b_{2 c} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{r 1}+b_{r 1} & a_{r 2}+b_{r 2} & \ldots & a_{r c}+b_{r c} \end{pmatrix}$

矩阵乘法

假设：

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 c} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 c} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \ldots & a_{r c} \end{pmatrix}$

则：

$k \cdot A=\begin{pmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \ldots & k \cdot a_{1 c} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \ldots & k \cdot a_{2 c} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ k \cdot a_{r 1} & k \cdot a_{r 2} & \ldots & k \cdot a_{r c} \end{pmatrix}$